论文题目：Optimal filtering of gear signals for early damage detection based on the spectral kurtosis（基于谱峭度的齿轮信号最优滤波及早期损伤检测）

期刊：Mechanical Systems and Signal Processing，2009

摘要：本文提出一种增强齿轮振动信号中微弱瞬态成分的方法，以便在损伤早期检测点蚀等局部轮齿故障。作者提出采用基于谱峭度（Spectral Kurtosis，SK）的最优去噪（维纳）滤波器。其创新之处在于：不是直接处理原始振动信号，而是对齿轮残差信号估计并应用该滤波器；这种残差信号通常通过从时间同步平均（TSA）信号中去除啮合谐波获得。相比直接从原始振动信号估计滤波器，这样做能够提高信噪比、减轻齿轮箱其他级的干扰，并更容易识别位于啮合谐波频率范围内的受激结构共振。对于经 SK 滤波得到的残差信号（称为 SK-residual），作者进一步将其平滑后的平方包络定义为局部功率，该指标同时反映故障诱发瞬态的能量和非平稳程度。将该方法应用于工业案例后，结果表明，它能够检测两级斜齿轮减速箱中相对较小的轮齿表面点蚀（面积小于 10%）。对于 SK 估计，分析窗长度与齿轮啮合周期大致匹配时，分辨率设置表现较优。论文还将该方法与逆滤波（盲反卷积）方法进行比较，发现后者稳定性较差、对噪声更敏感；按照 Fisher 准则衡量，其在有点蚀与无点蚀两种工况之间的诊断特征分离程度也较低。因此，基于 SK 的最优滤波方法适合用于齿轮局部损伤的早期检测。

一、研究背景与核心问题

1.1 早期点蚀为什么难检测？

早期点蚀会产生微弱冲击并激发结构共振，但正常啮合的周期振动、齿形差异、轴系不平衡和其他齿轮级干扰往往更强，仅靠原始波形或常规峭度很难定位故障齿。

传统方法利用时间同步平均（Time Synchronous Average，TSA）与啮合谐波剔除得到残差，但残差仍属宽带信号，故障共振可能被干扰淹没；人工选择带通频带也容易遗漏多个共振。

1.2 为什么不直接对原始信号计算谱峭度？

直接对原始信号计算 SK 存在三个障碍：偶发的非故障冲击会产生高 SK；多级传动的谐波与边带会干扰共振识别；为分开密集谐波而加长分析窗，又容易模糊短时冲击。

关键是：不仅要选对 SK 算法，还要选对输入信号。先利用旋转周期性去除干扰，再识别残余瞬态。

二、方法整体框架：先消除正常啮合，再突出异常冲击

论文 Figure 1：从时间同步平均、残差信号到 SK-residual 与局部功率的完整流程

整套方法可以概括为：

原始振动 → 角度重采样与 TSA → 去除啮合谐波 → 经典残差 → STFT 与 SK → 阈值化维纳型滤波器 → SK-residual → 平滑平方包络（局部功率）

一条分支利用短时傅里叶变换（STFT）计算残差的 SK，经显著性检验和平方根变换生成滤波器；另一条把滤波器作用于残差，得到 SK-residual 和随转角变化的局部功率。

相比只选单一高峭度频带的带通滤波，维纳型频率权重能保留多个共振。三者分工明确：TSA 抑制干扰，SK 决定频带权重，局部功率提供定位与定量特征。

三、核心模块一：从 TSA 残差到谱峭度最优滤波

3.1 为什么先做时间同步平均？

对转轴旋转周期为的信号，时间同步平均定义为：

其中，是振动信号，是参与平均的转数。先进行角度重采样以避免转速波动造成错位；TSA 保留目标轴每圈重复的成分，削弱非同步干扰。

经典残差进一步减去“平均单齿啮合波形”：

其中，是目标齿轮齿数，是啮合周期。这一操作等价于剔除啮合谐波，突出偏离正常啮合的变化。论文还测试了预测误差形式的 AR-residual：它能削弱部分边带，却可能因白化而放大噪声。

另一种随机剩余成分来自原始信号剔除全部确定性成分，与 TSA 经典残差并不相同。

3.2 谱峭度如何从频率中找到冲击？

记 X(t,f) 为 STFT 计算得到的复时频包络，为 n 阶谱矩，谱峭度定义为：

时间平均用于衡量各频带能量波动；少数时刻出现强烈激励时，SK 往往升高。但高 SK 不等于故障，正常接触冲击也会产生这种现象。

将观测信号表示为瞬态 s(t) 与平稳高斯噪声 n(t) 的叠加，论文给出：

其中，是噪声功率谱密度与目标信号功率谱密度之比。若瞬态短且在频率上近似不变，则W(f)与成正比，可借助 SK 盲估计去噪权重。

3.3 如何让滤波器可用且稳定？

作者针对残差谱峭度设置统计显著性阈值，并将比例系数固定为 1：

仅让超过显著性阈值的频带通过；输出称为SK-residual。为避免极低能量频带计算失稳，作者加入正则化，实验取、。

剩下的关键参数是 STFT 分析窗长度：窗太长，冲击在时间上被抹平；窗太短，频谱泄漏加重，正常啮合产生的短冲击可能被错误放大。论文建议以一个啮合周期附近的窗长作为起点，配合平滑窗、较高的窗口重叠率与零填充，再通过实验比较分辨率。

四、核心模块二：为什么还要计算局部功率？

只观察 SK-residual 的波形虽然能够看到增强后的冲击，但残余噪声和多个频带之间的叠加，仍会使故障位置不够醒目。作者因此定义局部功率（Local Power），将冲击幅度进一步转化为平滑的能量峰值。

记为 SK-residual 的解析信号，h(t) 为 STFT 分析窗，作者最终采用的估计式为：

其中，*表示卷积，为窗长。这相当于对平方包络进行平滑；也可以从滤波后时频谱图沿频率方向积分来理解。局部功率*近似等于以 SK 加权的残差时频能量之和，但该解释受频谱泄漏影响，计算时仍应先滤波再平滑包络。

这样既能按转角定位冲击，也可为逐齿监测提供能量特征；但平滑会受到窗长影响，峰值越尖并不必然越可靠。

五、实验结果与对比分析

5.1 工业齿轮箱与点蚀设置

论文 Figure 2：工业现场两级斜齿轮减速箱及齿轮传动结构

论文 Table 1：输出齿轮上五处人工点蚀的面积比例和角度位置

实验对象为用于驱动液压泵的两级斜齿轮减速箱，减速比约 20.5:1，额定电机功率 1.5 kW，满载输出转速约 68 rpm。目标输出齿轮有 59 齿。作者先采集新齿轮的无故障数据，再在五个轮齿表面人工制造近似自然点蚀，其估计面积依次为 18%、12%、6%、3% 和 1.5%，对应转角约 135°、172°、208°、245° 和 281°。

每次采样 100 s、原始采样率 50 kHz，随后为排除 13–17 kHz 的疑似变频器干扰而低通至 10 kHz、降采样到 25 kHz。采用输出端竖直方向振动与输出轴测速相位。点蚀面积是人工制造后估算值。

5.2 常规处理为何看不到故障？

论文 Figure 3：原始振动、TSA 和经典残差的波形与频谱对比

两级啮合频率约为 450 Hz 和 68 Hz。对目标输出齿轮进行 115 圈同步平均后，TSA 的能量不到原始信号的 4%；再删除 59 的整数倍阶次啮合谐波，获得经典残差。此时在约 170° 处虽然隐约可见一个异常峰，但残差峭度仅约 0.09，仍无法可靠突出早期点蚀。这正是后续 SK 滤波要解决的起点，而不是拿已经清晰的故障信号再做增强。

5.3 分辨率实验：为什么中间值更好？

论文 Figure 4：四种频率分辨率下的谱峭度、SK-residual 与局部功率

论文 Figure 5：0–1.5 kHz 和 6–7.5 kHz 频带的时频能量图对比

作者比较了 29.5、59、118 和 236 个输出轴阶次的频率分辨率，分别约对应 4、2、1 和 0.5 个啮合周期的分析窗。对于较低分辨率，长窗使相邻齿的瞬态难以分开；对于最高分辨率，短窗使 6–7.5 kHz 的正常齿面接触冲击被过度增强，反而干扰点蚀识别。Figure 5 表明，低频故障相关成分与高频正常啮合冲击会对窗长产生不同响应，因而不能简单地把“SK 最大”当作最优设置。

59–118 阶折中较好：140° 和 170° 两处较大点蚀清晰，200° 与 245° 也有较弱迹象。但峰值并不与点蚀面积严格成正比，坑深、形状和接触过程同样重要。

5.4 残差类型对比：不是预处理越复杂越好

论文 Figure 6：AR-residual 的 SK 滤波效果及相邻啮合冲击放大图

论文 Figure 7：直接处理原始振动和随机剩余成分的结果

AR-residual 采用 AIC 选取 P = 740；118 阶下滤波峭度约 4.2，低于经典残差的 7，但局部功率峭度约 59。Figure 6 还出现相隔约 6° 的重复小冲击，对应 59 齿的啮合间隔 360°/59 ≈ 6.1°，可能与多齿对接触有关；AR 白化也会放大噪声。

Figure 7 给出一个重要反例：无论直接对原始振动做 SK 滤波，还是对去掉全部确定性成分后的随机剩余信号做 SK 滤波，都没有成功突出这些点蚀。作者据此认为，本案例的故障主要产生与齿轮旋转同步的周期性效应，而不是随机的循环平稳效应。这也说明“先做 TSA 目标分离”不是可有可无的步骤。

5.5 诊断性能：局部功率带来更大的类间分离

论文 Figure 8：经典残差、SK-residual 与局部功率的诊断特征分布和 Fisher 准则

论文 Figure 9：无点蚀与有点蚀的多次局部功率结果对比

论文分别使用 43 组无点蚀和 48 组有点蚀信号，以峭度作为最终诊断特征，并采用 Fisher 准则衡量两类样本的可分离程度。FC 越大，意味着两类特征的均值差异相对类内波动越明显；它并不是分类准确率。

在 59 阶分辨率下，经典残差的 FC 仅为1.5，两类特征大幅重叠；经过 SK 滤波后，FC 增至31.4；再使用局部功率的峭度后，FC 达到62.9，两类样本在这组实验中不再重叠。相比之下，AR-residual 对应三种处理的 FC 分别为 6.9、13.5 和 12，整体不如经典残差路线。局部功率在无故障组仍存在一定波动，作者也提示实际报警可能需要更稳健的时序判决策略。

Figure 9 从齿位角度补充了证据：有点蚀组在约 140° 和 170° 位置的峰值跨多次采集保持稳定；约 200° 和 245° 的弱峰也能观察到，但其中较小峰与正常波动接近。因此，6% 左右被作者视为本实验条件下较可信的检测下限，不能将 3% 或 1.5% 的点蚀都宣称为已被可靠检出。

5.6 与 AR-MED 盲反卷积的对比

论文 Figure 10：两种滤波器长度下 AR-MED 的输出波形与峭度

论文 Figure 11：AR-MED 诊断特征的有点蚀与无点蚀分布

作者还将方法与 AR-MED（自回归 + 最小熵反卷积）比较。AR-MED 通过迭代最大化峭度，试图逆转传递路径对冲击的模糊作用。滤波器长度 L = 185 和 370 时，其输出峭度分别约为 14.6 与 21，看起来比 SK-residual 更“尖锐”；但长滤波器还会异常放大个别冲击，无故障样本中的偶发冲击同样可能被强化。

但 AR-MED 的 FC 只有17.9（L = 185）或约 16（L = 370），低于 SK 局部功率的 62.9。最大化信号峭度不等于最大化诊断可靠性；此处去噪优于逆滤波的结论并非普遍成立。

六、总结与思考

如果把这篇论文压缩成一句话：先利用齿轮的旋转同步性提纯故障残差，再用谱峭度自适应选择非平稳共振频带，最后以局部功率突出可定位的点蚀冲击。真正的创新不是单独发明 SK、TSA 或维纳滤波，而是合理安排三者的作用位置，让原本隐藏在正常啮合和噪声中的微弱冲击变得可观测。

从实验来看，经典残差 + SK 滤波 + 局部功率是最有效的组合；分析窗应与啮合周期大致匹配；是否产生更尖锐的波形，并不能代替有故障/无故障样本之间的统计分离检验。Figure 8 与 Figure 9 分别证明了“样本是否可分”和“冲击能否定位”，共同构成了论文最有说服力的证据链。

从工程角度看，这套方法仍然依赖可靠的转速相位基准和足够稳定的同步平均；论文只在一个工业齿轮箱、人工制造点蚀的场景下进行了验证。至于跨转速、跨载荷与长期自然劣化时的检测下限，文中没有给出同等充分的证据。作者提出的后续方向是利用局部功率监测单个轮齿的损伤趋势，以及改进 SK 到维纳滤波权重的比例系数估计、探索基于小波变换的 SK 计算。对实际状态监测来说，这些问题比单纯追求更高的峭度更值得继续研究。