简介：这份运筹学期末练习试卷面向高校运筹学课程学习者与备考学生，用于系统检验建模与求解能力。试卷涵盖线性规划建模、整数规划建模、名词解释、网络分析与计算题等模块，具体涉及A、B产品生产计划建模、汽车厂三种车型的整数规划、织布机生产安排、决策树分析及运输问题表上作业法等典型题型，并附有详细解答过程，便于对照理解建模思路与求解技巧。资源包共1个doc文件，约1.09MB，内容完整、排版清晰，可直接打印练习或作为复习提纲使用。目前已有571人学习下载，适合需要巩固运筹学核心知识点、熟悉期末题型与解题方法的学生参考，也可为教师命题提供素材。

1. 运筹学期末复习：从一张知识地图说起

运筹学期末复习最怕的不是题难，而是知识点散。翻开教材，线性规划、对偶理论、整数规划、运输问题、决策树、网络计划，每一块都像独立的山头，考场上却要求你在两小时内自由切换。这份练习试卷的价值恰恰在于，它用五道大题把整学期的核心模块串成了一条线：建模题考的是把文字描述翻译成数学语言的能力，名词解释考的是概念边界，作图填空考的是网络图的时间参数，计算题则把单纯形法、决策树和表上作业法一次性拉通。复习时如果只盯着计算步骤，很容易在建模假设和变量定义上翻车。下面按知识模块逐层拆解，最后落到一份可以照着走的查漏补缺清单。

2. 线性规划建模：变量定义与约束翻译的四个关键动作

2.1 从文字到变量：先定决策变量，再写目标函数

线性规划建模的第一步不是列约束，而是把“安排什么”翻译成决策变量。试卷第一题设每月生产 A、B 的数量为 x₁、x₂，同时把销毁的产品 C 设为 x₃。这里最容易忽略的是副产品变量：B 每生产 1 个单位会同时得到 2 个单位的 C，C 最多能售出 10 个单位，卖不出去的要销毁且每单位销毁费 1 元。如果只设 x₁、x₂ 而不设 x₃，约束里就无法表达“C 的产销存平衡”，目标函数里也扣不掉销毁费用。

梳理下来，这类题的变量定义要覆盖三类量：生产量、销售量、处理量。生产量进约束，销售量进目标函数，处理量用来平衡供需差额。试卷里 C 的平衡关系可以写成：

# 产品C的产销平衡约束（示意） # x1: A的产量, x2: B的产量, x3: 销毁的C数量 # B每单位产出2单位C，C最多售出10单位 2 * x2 - x3 <= 10 # 可售出的C不超过市场上限 x3 >= 0 # 销毁量非负

这段约束的含义是：B 带来的 C 总量减去销毁量，就是实际售出的 C，它不能超过市场预测的 10 个单位。参数 2 来自“每单位 B 同时得到 2 个单位 C”，10 来自“最多能售出 10 个单位 C”。如果题目改成“C 的销毁费用为每单位 1 元”，目标函数里就要减去 x₃，而不是把销毁量当成常数。

2.2 目标函数：利润要按“净贡献”写，别漏掉联动收益

第一题的目标函数容易写成 5x₁ + 10x₂ + 3×(2x₂) 就收手，漏掉了销毁成本。正确的净利润是 A 的利润加 B 的利润加 C 的销售利润减 C 的销毁费用。C 的销售利润取决于实际售出量，而实际售出量受上限约束，所以目标函数里 C 的贡献要写成 3×min(2x₂, 10) 的分段形式，或者引入 x₃ 后写成 3×(2x₂ - x₃) - 1×x₃。后者更线性，也更适合放进标准型。

第二题的整数规划建模则展示了另一种目标函数写法：三种轿车的利润分别是 2、3、4 万元，但每种车有经济规模下限，只有产量达到下限才允许生产。这时需要引入 0-1 变量 yᵢ 表示“是否生产第 i 种车”，约束写成 xᵢ ≤ M·yᵢ 且 xᵢ ≥ 下限·yᵢ。M 取一个足够大的数，比如钢材总量对应的最大产量。这里的关键是：经济规模不是“产量至少多少”这么简单，而是“要么不生产，要么至少生产这么多”，必须用 0-1 变量把两种状态分开。

2.3 资源约束：把“可供利用”翻译成不等式方向

第一题的前道过程 200 小时、后道过程 240 小时，对应两条 ≤ 约束：2x₁ + 3x₂ ≤ 200，3x₁ + 4x₂ ≤ 240。方向写反是血泪经验里最常见的翻车点。判断方向的方法很简单：资源是“可供利用”的上限，消耗量不能超过它，所以是 ≤；如果题目说“至少需要满足的需求”，才是 ≥。

第三题的织布机问题更复杂，因为它同时有自制和购买两种满足需求的方式。设 D 型机生产四种纺织品的小时数为 d₁ 到 d₄，R 型机生产纺织品 3、4 的小时数为 r₃、r₄，购买量为 p₁ 到 p₄。约束要分三层写：机器时间上限（D 型机 20 台×30 天×24 小时，R 型机 8 台×30 天×24 小时）、需求满足（自产量加购买量等于需求量）、以及“R 型机不生产纺织品 1、2”的隐含限制。第三层最容易被漏掉，因为表格里 R 型机那两格写的是“不生产”，不是数字。

2.4 建模题的检查清单：四个“有没有”

做完一道建模题，用四个问题自查：有没有定义所有出现在约束里的变量？有没有漏掉副产品或联产品的平衡关系？不等式方向有没有和“上限/下限”对应？整数规划里有没有用 0-1 变量处理“要么不生产、要么达到规模”的逻辑？这四问能拦住大部分建模失分。

3. 对偶理论与互补松弛性：从原问题反推对偶最优解

3.1 对偶问题的构造规则：对称型与非对称型

试卷综合题给了一个线性规划，要求写出对偶问题并求对偶最优解。对偶构造的规则取决于原问题的形式：如果原问题是“max，约束全为 ≤，变量全非负”，对偶就是“min，约束全为 ≥，变量全非负”；如果原问题有等式约束或自由变量，对偶的约束方向和变量符号要相应调整。记忆口诀是“max 变 min，≤ 变 ≥，约束系数转置，右端项与目标系数互换”。

以试卷中的原问题为例，假设原问题是 max z = cᵀx，约束为 Ax ≤ b，x ≥ 0，则对偶问题是 min w = bᵀy，约束为 Aᵀy ≥ c，y ≥ 0。写对偶时最容易错的是变量个数：原问题有几个约束，对偶就有几个变量；原问题有几个变量，对偶就有几个约束。把这条对应关系先画出来，再填系数，比直接背公式稳。

3.2 互补松弛性：用原问题最优解推对偶最优解

试卷答案里写“利用互补松弛性，将原问题最优解带入”，这是对偶理论里最实用的技巧。互补松弛性说的是：如果原问题某个约束是严格不等式（松弛变量大于零），对应的对偶变量必为零；如果对偶问题某个约束是严格不等式，对应的原问题变量必为零。反过来，如果已知原问题最优解中某个变量大于零，那么对偶问题中对应的约束必须取等号。

具体操作分三步：先把原问题最优解代入各约束，找出哪些约束取等号、哪些有松弛；再根据“松弛对应对偶变量为零”列出对偶变量的取值条件；最后解剩下的等式方程组。试卷里 y₃ = 0 就是这么来的——原问题第三个约束在最优解处有松弛，所以对偶第三个变量为零。这一步如果漏掉，对偶最优解会多一个自由度，解不唯一。

提示：互补松弛性只给出“哪些变量为零”的信息，剩下的非零变量还要靠对偶约束取等号来解。两步都做完，才能写出完整的对偶最优解。

3.3 对偶理论的常见考法：三个层次

期末考对对偶理论的考查通常分三层：第一层是写出对偶问题，考构造规则；第二层是已知原问题最优解求对偶最优解，考互补松弛性；第三层是解释对偶变量的经济含义，比如影子价格。试卷覆盖了前两层，第三层常以名词解释或简答出现。复习时把这三层按顺序过一遍，比零散背公式有效。

4. 运输问题与表上作业法：初始解、检验数与闭回路

4.1 表上作业法的三步流程

试卷计算题第三题给了 3×4 的运输表，产量为 16、10、22，销量为 8、14、12、14，总产量 48 等于总销量 48，是产销平衡问题。表上作业法的流程固定为三步：求初始基可行解（最小元素法或伏格尔法）、求检验数判断最优性（位势法）、用闭回路调整改进解。

初始解用最小元素法时，从运价最小的格子开始分配，能填多少填多少，填完划掉对应行或列。这道题运价最小的是 A₂B₁ 的 1，先填 min(10, 8) = 8，A₂ 还剩 2，B₁ 满足；接着找次小运价，依此类推。最小元素法快，但初始解质量一般；伏格尔法考虑“次小运价与最小运价之差”，初始解更接近最优，但计算量大。考试时如果题目没指定方法，最小元素法够用，但要注意基变量个数必须是 m + n - 1 = 3 + 4 - 1 = 6 个，不够时要补零。

4.2 位势法求检验数：u 和 v 的方程组

位势法的核心是给每个行一个位势 uᵢ、每个列一个位势 vⱼ，对基变量格子满足 uᵢ + vⱼ = cᵢⱼ。基变量有 6 个，未知数有 7 个（3 个 u 加 4 个 v），所以令某个 u 或 v 为零，解出其余。然后对非基变量格子算检验数 σᵢⱼ = cᵢⱼ - (uᵢ + vⱼ)，如果所有 σᵢⱼ ≥ 0，当前解最优；有负检验数就选最小的那个格子进基，画闭回路调整。

闭回路的画法是：从进基格子出发，沿行或列走，遇到基变量格子就转弯，回到起点形成闭合折线，顶点除起点外都是基变量。调整量取闭回路上偶数顶点（减去方向）的最小值，然后加减调整。这一步的易错点是闭回路方向搞反，导致调整后出现负值。画完回路先标“+ - + -”，再算调整量，能减少出错。

4.3 产销不平衡的处理：虚拟产地或虚拟销地

如果总产量大于总销量，加一个虚拟销地，销量等于差额，运价全为零；如果总销量大于总产量，加一个虚拟产地。试卷这道题产销平衡，不需要虚拟，但复习时要记住这个处理方式，因为考试经常在这里设坑。虚拟格子的运价为零，意味着“未被满足的需求”或“未运出的库存”不产生运费，但检验数计算时虚拟格子同样参与。

5. 网络计划与决策树：时间参数与期望值倒推

5.1 网络图的时间参数：最早开始、最迟开始与总时差

试卷作图填空题给了五个活动 A 到 F 及其紧前关系，要求画网络图、找关键路线、算完工时间、算活动 B 和 E 的可推迟天数。这类题的核心是四个时间参数：最早开始时间 ES、最早完成时间 EF、最迟开始时间 LS、最迟完成时间 LF。正推法算 ES 和 EF，从起点开始，取所有紧前活动 EF 的最大值；逆推法算 LS 和 LF，从终点开始，取所有紧后活动 LS 的最小值。总时差 TF = LS - ES = LF - EF，总时差为零的活动在关键路线上。

试卷里关键路线是 A-E-F，完工时间 14 天。活动 B 的紧前活动是“无”，紧后活动是 C，C 的紧前是 B，D 的紧前是 A 和 C，E 的紧前是 A，F 的紧前是 D 和 E。正推一遍：A 的 ES=0，EF=5；B 的 ES=0，EF=1；C 的 ES=1，EF=3；D 的 ES=max(5,3)=5，EF=9；E 的 ES=5，EF=11；F 的 ES=max(9,11)=11，EF=14。逆推：F 的 LF=14，LS=11；E 的 LF=11，LS=5；D 的 LF=11，LS=7；C 的 LF=min(7)=7，LS=5；B 的 LF=5，LS=4；A 的 LF=min(5,5)=5，LS=0。B 的总时差 = 4 - 0 = 4 天，E 的总时差 = 5 - 5 = 0 天，和试卷答案一致。

5.2 决策树：先画树，再倒推期望值

试卷计算题第二题是决策树：销路好概率 0.7、获利 1200 万，销路差概率 0.3、亏损 150 万；可以先建小型试验工厂试销，试销费 5 万，试销销路好概率 0.8，试销好之后大批量投产销路好的概率 0.85，试销差之后大批量投产销路好的概率 0.1。决策树的画法是从左到右画决策点（方框）和状态点（圆圈），从右到左算期望值。

不试销的期望值：0.7×1200 + 0.3×(-150) = 840 - 45 = 795 万。试销的期望值要分两支算：试销好的分支，后续投产期望值 = 0.85×1200 + 0.15×(-150) = 1020 - 22.5 = 997.5 万；试销差的分支，后续投产期望值 = 0.1×1200 + 0.9×(-150) = 120 - 135 = -15 万。试销的总期望值 = 0.8×997.5 + 0.2×(-15) - 5 = 798 - 3 - 5 = 790 万。790 < 795，所以不试销更优。这里最容易错的是忘了减试销费 5 万，或者把试销概率和投产概率混在一起用。

5.3 网络计划与决策树的共同点：倒推

两类题看起来无关，但解题逻辑都是“先正推、再倒推”。网络计划正推算最早时间、逆推算最迟时间；决策树正推画分支、逆推算期望值。复习时把这两个“倒推”放在一起记，能减少混淆。

6. 易漏点与易错点：五条考场翻车高发区

易漏点一：建模题漏写变量非负约束。为什么漏：注意力全在资源约束和目标函数上，觉得“产量当然非负”。怎么补：每写完一组约束，回头检查所有变量是否都声明了 ≥ 0，整数规划还要加整数约束或 0-1 约束。

易漏点二：对偶问题变量个数与原问题约束个数对不上。为什么漏：直接套公式，没先数原问题有几个约束。怎么补：写对偶前先在草稿上标出原问题的约束数和变量数，对偶的变量数等于原约束数，对偶的约束数等于原变量数，数一遍再动笔。

易漏点三：表上作业法基变量个数不足 m+n-1。为什么漏：最小元素法分配时同时划掉行和列，导致基变量少一个。怎么补：每次只划掉一行或一列，如果同时满足，只划一个，另一个留到后面补零；最后检查基变量个数，不够就在空格补零。

易漏点四：网络图总时差算成“最迟开始减最早开始”却用错活动。为什么漏：正推逆推的数字抄串行。怎么补：把每个活动的 ES、EF、LS、LF 列成表格，一行一个活动，算完总时差再标关键路线，不要跳步。

易漏点五：决策树期望值忘记减试销成本或调查费用。为什么漏：只算投产收益，把前期费用当成“已经花掉不用管”。怎么补：在决策树的每个分支末端把该分支的所有费用列出来，期望值算完后统一扣减，或者直接在分支上标净收益。

7. 复习清单：从知识地图到考场动作的查漏补缺

复习到最后阶段，不要再从头翻教材，按下面这张清单逐项打勾，哪一项卡住就回到对应章节补。

具体操作上，建议按“先建模、再计算、后概念”的顺序过一遍：第一天把三道建模题重新写一遍变量定义和约束，不看答案；第二天做运输问题和网络图，重点练位势法和总时差表格；第三天做对偶和决策树，对偶题强制用互补松弛性推一遍；第四天只看易漏点清单，把五条翻车点各找一道题验证。每道题做完问自己一句：如果题目改一个参数，我的模型哪里会变？能答上来，才算真掌握。

注意：试卷里“只建模、无需求解”的题不要跳过求解练习。建模是翻译能力，求解是计算能力，期末考通常两者都考，分开练才能都稳。

从那以后我每次复习运筹学，都强制走一遍“变量定义→约束方向→基变量个数→期望值扣费”这四个检查动作，哪怕时间再紧也不省。这套动作拦住过好几次本可以避免的失分。希望这份梳理帮到你，把散落的知识点串成一张能带进考场的图。

本文还有配套的精品资源，点击获取