考研高数｜变上限积分图像选择题（2009数二真题）

题目

设函数y=f(x)y=f(x)y=f(x)在区间[−1,3][-1,3][−1,3]上的图形如图所示，则函数F(x)=∫0xf(t)dt\displaystyle F(x)=\int_{0}^{x} f(t)dtF(x)=∫0x​f(t)dt的图形为（）
(A)图A (B)图B ©图C (D)图D

答案：D

核心定理（必背）

1. 微积分基本定理：F′(x)=f(x)\boldsymbol{F'(x)=f(x)}F′(x)=f(x)

f(x)f(x)f(x)的正负，直接决定F(x)F(x)F(x)的单调性

• f>0 ⟹ F(x)f>0 \implies F(x)f>0⟹F(x)单调递增
• f<0 ⟹ F(x)f<0 \implies F(x)f<0⟹F(x)单调递减
• f=0 ⟹ F(x)f=0 \implies F(x)f=0⟹F(x)为常数，图像水平

2. 重要性质：只要fff可积，变上限积分F(x)F(x)F(x)一定连续
3. 初始值：F(0)=∫00f(t)dt=0\boldsymbol{F(0)=\int_{0}^{0}f(t)dt=0}F(0)=∫00​f(t)dt=0
   👉F(x)F(x)F(x)一定过原点(0,0)(0,0)(0,0)，直接排除C选项（C在x=0是1）

分段分析（按区间一段一段看f(x)）

①x∈[−1,0]x\in[-1,0]x∈[−1,0]

原函数f(x)>0f(x)>0f(x)>0（在x轴上方）
F′(x)=f(x)>0 ⟹ F(x)F'(x)=f(x)>0 \implies F(x)F′(x)=f(x)>0⟹F(x)单调递增
F(0)=0F(0)=0F(0)=0，从x=−1x=-1x=−1走到0，函数从负值上升到0。

对应图像：在[-1,0]从左下往右上，终点落在原点。
👉 排除A（A在[-1,0]递减）

②x∈[0,2]x\in[0,2]x∈[0,2]

原函数f(x)<0f(x)<0f(x)<0（在x轴下方）
F′(x)=f(x)<0 ⟹ F(x)F'(x)=f(x)<0 \implies F(x)F′(x)=f(x)<0⟹F(x)单调递减
从原点(0,0)(0,0)(0,0)开始往下走，F(x)F(x)F(x)变成负数。

③x∈[2,3]x\in[2,3]x∈[2,3]

原函数f(x)=0f(x)=0f(x)=0
F′(x)=f(x)=0 ⟹ F(x)F'(x)=f(x)=0 \implies F(x)F′(x)=f(x)=0⟹F(x)常数，图像水平横线

积分面积不再变化，保持固定值，不会再上升
👉 排除B（B在2~3还在上升）

结论汇总

• F(0)=0F(0)=0F(0)=0，排除C
• [−1,0],f>0⇒F[-1,0],f>0 \Rightarrow F[−1,0],f>0⇒F递增，排除A
• [2,3],f=0⇒F[2,3],f=0 \Rightarrow F[2,3],f=0⇒F是水平线，排除B
  ✅ 剩下D，就是正确答案

易错点总结

1. F(x)=∫0xf(t)dtF(x)=\int_{0}^{x}f(t)dtF(x)=∫0x​f(t)dt，下限固定是0，F(0)=0是快速秒杀点
2. 看图像不要看F的正负，优先看单调性（由f(x)正负决定）
3. f(x)=0f(x)=0f(x)=0的区间，变上限积分一定是水平直线！
4. 变上限积分F(x)F(x)F(x)永远连续，哪怕f(x)f(x)f(x)有间断点

秒杀口诀

f在上，F递增；f在下，F递减；f等于0，F不动。