学习内容：掌握传统三相永磁电机的电机运行的机理，熟悉数学模型。

了解自然坐标系、两相静止坐标系、两相旋转坐标系之间的关系。熟练运用坐标变换在三者之间进行转化。重点掌握矢量空间解耦（VSD）变化下的数学模型。可尝试在matlab中搭建电机模型。

一.重要理论

1. 自然坐标系（ABC坐标系）

电压方程：u3s=Ri3s+ddtψ3s

其中，u3s=uAuBuC（相电压），i3s=iAiBiC（相电流），ψ3s（相磁链），R为定子电阻。

磁链方程：ψ3s=L3si3s+ψf⋅F3s(θe)
其中，L3s为定子电感矩阵（含互感），ψf为永磁体磁链，F3s(θe)为转子位置相关的磁链系

数矩阵（θe为电角度）。

电磁转矩方程：Te=12pn∂∂θm(i3sTψ3s)

其中，pn为极对数，θm为机械角度（θe=pnθm）。

机械运动方程：Jdωmdt=Te-TL-Bωm

其中，J为转动惯量，ωm为机械角速度，TL为负载转矩，B为阻尼系数。

2.两相静止坐标系（α-β坐标系）

通过Clark变换将ABC坐标系的三相变量转换为两相正交变量，

电压方程：uαuβ=Riαiβ+ddtψαψβ

磁链方程：ψαψβ=Lα-Lαβ-LαβLβiαiβ+ψfcosθesinθe

其中，Lα=L0+L1cos2θe，Lβ=L0-L1cos2θe，Lαβ=L1sin2θe（L0=(Ld+Lq)/2，L1=(Ld-Lq)/2，Ld、Lq为d/q轴电感）。

3.两相旋转坐标系（d-q坐标系）

通过Park变换将α-β坐标系的静止变量转换为随转子同步旋转的变量，实现完全

解耦，是矢量控制的核心坐标系，模型如下：
电压方程：
ud=Rid+Lddiddt-ωeLqiquq=Riq+Lqdiqdt+ωe(Ldid+ψf)

其中，ωe=pnωm为电角速度，ud/uq、id/iq分别为d/q轴电压、电流。

磁链方程：ψd=Ldid+ψfψq=Lqiq
电磁转矩方程：Te=32pniq[id(Ld-Lq)+ψf]

（表贴式PMSM因Ld=Lq，转矩方程简化为Te=32pnψfiq）。

4、三大坐标系之间的关系及坐标变换

1.Clark变换

（1）Clark变换（ABC→α-β）

将三相变量转换为两相静止变量：
fαfβ=231-12-12032-32fAfBfC
其中，f代表电压、电流或磁链。

（2）反Clark变换（α-β→ABC）

将两相静止变量还原为三相变量：
fAfBfC=10-1232-12-32fαfβ

2 Park变换

（1）Park变换（α-β→d-q）

将两相静止变量转换为两相旋转变量：
fdfq=cosθesinθe-sinθecosθefαfβ

（2）反Park变换（d-q→α-β）

将两相旋转变量还原为两相静止变量：
fαfβ=cosθe-sinθesinθecosθefdfq

（3）直接变换（ABC→d-q）

结合Clark和Park变换，直接转换：
fdfq=23cosθecos(θe-120°)cos(θe+120°)-sinθe-sin(θe-120°)-sin(θe+120°)fAfBfC

3 VSD

（1）VSD（ABC→α-β→d-q）

结合Clark和Park变换，直接转换：
fdfq=23cosθecos(θe-120°)cos(θe+120°)-sinθe-sin(θe-120°)-sin(θe+120°)fAfBfC

VSD数学模型ABC 坐标系 →(通过 Clark 变换)→ αβ坐标系 (通过 Park 变换)→ dq 坐标系这个过程的最终目标，就是得到解耦的。

二、仿真模型搭建

2.1 Clark变换与Park变换

（a）Clark变换矩阵

（b）Park变换矩阵

（c）自然坐标系和同步旋转坐标系之间的关系

（d）仿真结果显示

图1-1 三相PMSM的坐标变换的数学建模

2.2 同步旋转坐标系下的数学建模

（a）电磁转矩计算

（b）d-q轴电流计算

（c）机械角速度计算

（d）电机参数设置

图1-2 三相永磁同步电机的数学建模

三、总结

电机的电磁关系在自然坐标系中是强耦合、时变的，转换到两相旋转坐标系后可解耦为直流分量，大幅降低控制算法的复杂度。因此使用同步旋转坐标系建模为后续电机控制器的设计做理论铺垫。另外，在matlab中搭建了电机模型，加深了对电磁转矩计算、d-q轴电流计算、机械角速度计算的公式理解。